{l}{3x+5y=1}{2x-3y=0}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{3}{19}\approx 0.157894737$$

$$y=\frac{2}{19}\approx 0.105263158$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3x+5y=1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 5y বাদ দিন।

$$3x=-5y+1$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

\frac{1}{3} কে -5y+1 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

অন্য সমীকরণ 2x-3y=0 এ x এর জন্য \frac{-5y+1}{3} বিপরীত করু ন।

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=0$$

2 কে \frac{-5y+1}{3} বার গুণ করুন।

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}-3y=0$$

-3y এ -\frac{10y}{3} যোগ করুন।

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=0$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{2}{3} বাদ দিন।

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{2}{3}$$

-\frac{19}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{2}{19}$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{2}{19} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{2}{19}+\frac{1}{3}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{5}{3} কে \frac{2}{19} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{10}{57}+\frac{1}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{10}{57} এ \frac{1}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{3}{19}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

3x এবং 2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$2\times 3x+2\times 5y=2,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

সিমপ্লিফাই।

$$6x+10y=2,6x-9y=0$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 6x+10y=2 থেকে 6x-9y=0 বাদ দিন।

$$6x-6x+10y+9y=2$$

-6x এ 6x যোগ করুন। টার্ম 6x এবং -6x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$10y+9y=2$$

9y এ 10y যোগ করুন।

$$19y=2$$

19 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{2}{19}$$

2x-3y=0 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{2}{19} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2x-3\times \frac{2}{19}=0$$

-3 কে \frac{2}{19} বার গুণ করুন।

$$2x-\frac{6}{19}=0$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{6}{19} যোগ করুন।

$$2x=\frac{6}{19}$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{3}{19}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$