{l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=2k$$

$$y=5k$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3x+2y=16k$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2y বাদ দিন।

$$3x=-2y+16k$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

\frac{1}{3} কে -2y+16k বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

অন্য সমীকরণ 5x-4y=-10k এ x এর জন্য \frac{-2y+16k}{3} বিপরীত করু ন।

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

5 কে \frac{-2y+16k}{3} বার গুণ করুন।

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

-4y এ -\frac{10y}{3} যোগ করুন।

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{80k}{3} বাদ দিন।

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

-\frac{22}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=5k$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 5k ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

-\frac{2}{3} কে 5k বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

-\frac{10k}{3} এ \frac{16k}{3} যোগ করুন।

$$x=2k$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=2k,y=5k$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=2k,y=5k$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

3x এবং 5x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন।

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 15x+10y=80k থেকে 15x-12y=-30k বাদ দিন।

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

-15x এ 15x যোগ করুন। টার্ম 15x এবং -15x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$10y+12y=80k+30k$$

12y এ 10y যোগ করুন।

$$22y=80k+30k$$

30k এ 80k যোগ করুন।

$$22y=110k$$

22 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=5k$$

5x-4y=-10k এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 5k ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$5x-4\times 5k=-10k$$

-4 কে 5k বার গুণ করুন।

$$5x-20k=-10k$$

সমীকরণের উভয় দিকে 20k যোগ করুন।

$$5x=10k$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=2k$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=2k,y=5k$$