{l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=4$$

$$y=-2$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। 3 কে x+y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 কে x-y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x পেতে 3x এবং -4x একত্রিত করুন।

$$-x+3y+4y=-18$$

7y পেতে 3y এবং 4y একত্রিত করুন।

$$-x+7y=-18$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। \frac{1}{2} কে x+y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} কে x-y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x পেতে \frac{1}{2}x এবং \frac{1}{6}x একত্রিত করুন।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y পেতে \frac{1}{2}y এবং -\frac{1}{6}y একত্রিত করুন।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$-x+7y=-18$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 7y বাদ দিন।

$$-x=-7y-18$$

-1 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

-1 কে -7y-18 বার গুণ করুন।

$$x=7y+18$$

অন্য সমীকরণ \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 এ x এর জন্য 7y+18 বিপরীত করু ন।

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{2}{3} কে 7y+18 বার গুণ করুন।

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{y}{3} এ \frac{14y}{3} যোগ করুন।

$$5y+12=2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 12 বাদ দিন।

$$5y=-10$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-2$$

x=7y+18 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=7\left(-2\right)+18$$

7 কে -2 বার গুণ করুন।

$$x=-14+18$$

-14 এ 18 যোগ করুন।

$$x=4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=4,y=-2$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। 3 কে x+y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 কে x-y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x পেতে 3x এবং -4x একত্রিত করুন।

$$-x+3y+4y=-18$$

7y পেতে 3y এবং 4y একত্রিত করুন।

$$-x+7y=-18$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। \frac{1}{2} কে x+y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} কে x-y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x পেতে \frac{1}{2}x এবং \frac{1}{6}x একত্রিত করুন।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y পেতে \frac{1}{2}y এবং -\frac{1}{6}y একত্রিত করুন।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=4,y=-2$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। 3 কে x+y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4 কে x-y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

-x পেতে 3x এবং -4x একত্রিত করুন।

$$-x+3y+4y=-18$$

7y পেতে 3y এবং 4y একত্রিত করুন।

$$-x+7y=-18$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। \frac{1}{2} কে x+y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6} কে x-y দিয়ে গুণ করতে ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি ব্যবহার করুন।

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{2}{3}x পেতে \frac{1}{2}x এবং \frac{1}{6}x একত্রিত করুন।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{3}y পেতে \frac{1}{2}y এবং -\frac{1}{6}y একত্রিত করুন।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

-x এবং \frac{2x}{3} সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে \frac{2}{3} দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -1 দিয়ে গুণ করুন।

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

সিমপ্লিফাই।

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 থেকে -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 বাদ দিন।

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{2x}{3} এ -\frac{2x}{3} যোগ করুন। টার্ম -\frac{2x}{3} এবং \frac{2x}{3} বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{y}{3} এ \frac{14y}{3} যোগ করুন।

$$5y=-12+2$$

2 এ -12 যোগ করুন।

$$5y=-10$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-2$$

\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

\frac{1}{3} কে -2 বার গুণ করুন।

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{2}{3} যোগ করুন।

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

\frac{2}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$x=4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=4,y=-2$$