{l}{25x+35y=16500}{x+y=500}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=100$$

$$y=400$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$25x+35y=16500$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 35y বাদ দিন।

$$25x=-35y+16500$$

25 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

\frac{1}{25} কে -35y+16500 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

অন্য সমীকরণ x+y=500 এ x এর জন্য -\frac{7y}{5}+660 বিপরীত করু ন।

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

y এ -\frac{7y}{5} যোগ করুন।

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 660 বাদ দিন।

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

-\frac{2}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=400$$

x=-\frac{7}{5}y+660 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 400 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

-\frac{7}{5} কে 400 বার গুণ করুন।

$$x=-560+660$$

-560 এ 660 যোগ করুন।

$$x=100$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=100,y=400$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=100,y=400$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

25x এবং x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 25 দিয়ে গুণ করুন।

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

সিমপ্লিফাই।

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 25x+35y=16500 থেকে 25x+25y=12500 বাদ দিন।

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

-25x এ 25x যোগ করুন। টার্ম 25x এবং -25x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$35y-25y=16500-12500$$

-25y এ 35y যোগ করুন।

$$10y=16500-12500$$

-12500 এ 16500 যোগ করুন।

$$10y=4000$$

10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=400$$

x+y=500 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 400 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x+400=500$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 400 বাদ দিন।

$$x=100$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=100,y=400$$