{l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

y, x এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 3x বিয়োগ করুন।

$$2y-3x=-6$$

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের y পৃথক করে y-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2y-3x=-6$$

সমীকরণের উভয় দিকে 3x যোগ করুন।

$$2y=3x-6$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

\frac{1}{2} কে -6+3x বার গুণ করুন।

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

অন্য সমীকরণ 4y+5x=8 এ y এর জন্য \frac{3x}{2}-3 বিপরীত করু ন।

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

4 কে \frac{3x}{2}-3 বার গুণ করুন।

$$6x-12+5x=8$$

5x এ 6x যোগ করুন।

$$11x-12=8$$

সমীকরণের উভয় দিকে 12 যোগ করুন।

$$11x=20$$

11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{20}{11}$$

y=\frac{3}{2}x-3 এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{20}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{3}{2} কে \frac{20}{11} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y=\frac{30}{11}-3$$

\frac{30}{11} এ -3 যোগ করুন।

$$y=-\frac{3}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 3x বিয়োগ করুন।

$$2y-3x=-6$$

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট y এবং x বের করুন।

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 3x বিয়োগ করুন।

$$2y-3x=-6$$

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

2y এবং 4y সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

সিমপ্লিফাই।

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 8y-12x=-24 থেকে 8y+10x=16 বাদ দিন।

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

-8y এ 8y যোগ করুন। টার্ম 8y এবং -8y বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-12x-10x=-24-16$$

-10x এ -12x যোগ করুন।

$$-22x=-24-16$$

-16 এ -24 যোগ করুন।

$$-22x=-40$$

-22 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{20}{11}$$

4y+5x=8 এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{20}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

5 কে \frac{20}{11} বার গুণ করুন।

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{100}{11} বাদ দিন।

$$4y=-\frac{12}{11}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{3}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$