{l}{2x+y=6}{4x-y=7}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x+y=6,4x-y=7$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x+y=6$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$2x=-y+6$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

\frac{1}{2} কে -y+6 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

অন্য সমীকরণ 4x-y=7 এ x এর জন্য -\frac{y}{2}+3 বিপরীত করু ন।

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

4 কে -\frac{y}{2}+3 বার গুণ করুন।

$$-2y+12-y=7$$

-y এ -2y যোগ করুন।

$$-3y+12=7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 12 বাদ দিন।

$$-3y=-5$$

-3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{5}{3}$$

x=-\frac{1}{2}y+3 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{5}{3} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{1}{2} কে \frac{5}{3} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

-\frac{5}{6} এ 3 যোগ করুন।

$$x=\frac{13}{6}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x+y=6,4x-y=7$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x+y=6,4x-y=7$$

2x এবং 4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

সিমপ্লিফাই।

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 8x+4y=24 থেকে 8x-2y=14 বাদ দিন।

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

-8x এ 8x যোগ করুন। টার্ম 8x এবং -8x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$4y+2y=24-14$$

2y এ 4y যোগ করুন।

$$6y=24-14$$

-14 এ 24 যোগ করুন।

$$6y=10$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{5}{3}$$

4x-y=7 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{5}{3} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{5}{3} যোগ করুন।

$$4x=\frac{26}{3}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{13}{6}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$