{l}{2x+7y=15}{3x-5y=23}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x+7y=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 7y বাদ দিন।

$$2x=-7y+15$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

\frac{1}{2} কে -7y+15 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

অন্য সমীকরণ 3x-5y=23 এ x এর জন্য \frac{-7y+15}{2} বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

3 কে \frac{-7y+15}{2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

-5y এ -\frac{21y}{2} যোগ করুন।

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{45}{2} বাদ দিন।

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

-\frac{31}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{1}{31}$$

x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{1}{31} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{7}{2} কে -\frac{1}{31} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{7}{62} এ \frac{15}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{236}{31}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

2x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

সিমপ্লিফাই।

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 6x+21y=45 থেকে 6x-10y=46 বাদ দিন।

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

-6x এ 6x যোগ করুন। টার্ম 6x এবং -6x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$21y+10y=45-46$$

10y এ 21y যোগ করুন।

$$31y=45-46$$

-46 এ 45 যোগ করুন।

$$31y=-1$$

31 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{1}{31}$$

3x-5y=23 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{1}{31} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

-5 কে -\frac{1}{31} বার গুণ করুন।

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{5}{31} বাদ দিন।

$$3x=\frac{708}{31}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{236}{31}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$