{l}{2x+4y=12}{5x-8y=16}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x+4y=12$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 4y বাদ দিন।

$$2x=-4y+12$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

\frac{1}{2} কে -4y+12 বার গুণ করুন।

$$x=-2y+6$$

অন্য সমীকরণ 5x-8y=16 এ x এর জন্য -2y+6 বিপরীত করু ন।

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

5 কে -2y+6 বার গুণ করুন।

$$-10y+30-8y=16$$

-8y এ -10y যোগ করুন।

$$-18y+30=16$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 30 বাদ দিন।

$$-18y=-14$$

-18 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{7}{9}$$

x=-2y+6 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{7}{9} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

-2 কে \frac{7}{9} বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

-\frac{14}{9} এ 6 যোগ করুন।

$$x=\frac{40}{9}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

2x এবং 5x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

সিমপ্লিফাই।

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 10x+20y=60 থেকে 10x-16y=32 বাদ দিন।

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

-10x এ 10x যোগ করুন। টার্ম 10x এবং -10x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$20y+16y=60-32$$

16y এ 20y যোগ করুন।

$$36y=60-32$$

-32 এ 60 যোগ করুন।

$$36y=28$$

36 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{7}{9}$$

5x-8y=16 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{7}{9} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

-8 কে \frac{7}{9} বার গুণ করুন।

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{56}{9} যোগ করুন।

$$5x=\frac{200}{9}$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{40}{9}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$