{l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

m, n এর জন্য সমাধান করুন

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের m পৃথক করে m-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2m+3n=1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3n বাদ দিন।

$$2m=-3n+1$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

\frac{1}{2} কে -3n+1 বার গুণ করুন।

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

অন্য সমীকরণ \frac{5}{3}m-2n=1 এ m এর জন্য \frac{-3n+1}{2} বিপরীত করু ন।

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

\frac{5}{3} কে \frac{-3n+1}{2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

-2n এ -\frac{5n}{2} যোগ করুন।

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{5}{6} বাদ দিন।

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

-\frac{9}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$n=-\frac{1}{27}$$

m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} এ n এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{1}{27} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি m এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{3}{2} কে -\frac{1}{27} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{1}{18} এ \frac{1}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$m=\frac{5}{9}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট m এবং n বের করুন।

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

2m এবং \frac{5m}{3} সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে \frac{5}{3} দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

সিমপ্লিফাই।

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} থেকে \frac{10}{3}m-4n=2 বাদ দিন।

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

-\frac{10m}{3} এ \frac{10m}{3} যোগ করুন। টার্ম \frac{10m}{3} এবং -\frac{10m}{3} বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

4n এ 5n যোগ করুন।

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

-2 এ \frac{5}{3} যোগ করুন।

$$9n=-\frac{1}{3}$$

9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$n=-\frac{1}{27}$$

\frac{5}{3}m-2n=1 এ n এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{1}{27} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি m এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

-2 কে -\frac{1}{27} বার গুণ করুন।

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{2}{27} বাদ দিন।

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

\frac{5}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$m=\frac{5}{9}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$