{l}{125x+110y=6100}{x+y=50}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=40$$

$$y=10$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$125x+110y=6100$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 110y বাদ দিন।

$$125x=-110y+6100$$

125 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

\frac{1}{125} কে -110y+6100 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

অন্য সমীকরণ x+y=50 এ x এর জন্য -\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} বিপরীত করু ন।

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

y এ -\frac{22y}{25} যোগ করুন।

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{244}{5} বাদ দিন।

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

\frac{3}{25} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=10$$

x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 10 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

-\frac{22}{25} কে 10 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{44}{5} এ \frac{244}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=40$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=40,y=10$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=40,y=10$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

125x এবং x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 125 দিয়ে গুণ করুন।

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

সিমপ্লিফাই।

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 125x+110y=6100 থেকে 125x+125y=6250 বাদ দিন।

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

-125x এ 125x যোগ করুন। টার্ম 125x এবং -125x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$110y-125y=6100-6250$$

-125y এ 110y যোগ করুন।

$$-15y=6100-6250$$

-6250 এ 6100 যোগ করুন।

$$-15y=-150$$

-15 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=10$$

x+y=50 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 10 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x+10=50$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 10 বাদ দিন।

$$x=40$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=40,y=10$$