{l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$11x+19y=25$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 19y বাদ দিন।

$$11x=-19y+25$$

11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

\frac{1}{11} কে -19y+25 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

অন্য সমীকরণ 19x+11y=15 এ x এর জন্য \frac{-19y+25}{11} বিপরীত করু ন।

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

19 কে \frac{-19y+25}{11} বার গুণ করুন।

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

11y এ -\frac{361y}{11} যোগ করুন।

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{475}{11} বাদ দিন।

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

-\frac{240}{11} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{31}{24}$$

x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{31}{24} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{19}{11} কে \frac{31}{24} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{589}{264} এ \frac{25}{11} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{1}{24}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

11x এবং 19x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 19 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 11 দিয়ে গুণ করুন।

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

সিমপ্লিফাই।

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 209x+361y=475 থেকে 209x+121y=165 বাদ দিন।

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

-209x এ 209x যোগ করুন। টার্ম 209x এবং -209x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$361y-121y=475-165$$

-121y এ 361y যোগ করুন।

$$240y=475-165$$

-165 এ 475 যোগ করুন।

$$240y=310$$

240 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{31}{24}$$

19x+11y=15 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{31}{24} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

11 কে \frac{31}{24} বার গুণ করুন।

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{341}{24} বাদ দিন।

$$19x=\frac{19}{24}$$

19 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{24}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$