{l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=10$$

$$y=14$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$10x+5y=170$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 5y বাদ দিন।

$$10x=-5y+170$$

10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

\frac{1}{10} কে -5y+170 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

অন্য সমীকরণ 6x+10y=200 এ x এর জন্য -\frac{y}{2}+17 বিপরীত করু ন।

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

6 কে -\frac{y}{2}+17 বার গুণ করুন।

$$-3y+102+10y=200$$

10y এ -3y যোগ করুন।

$$7y+102=200$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 102 বাদ দিন।

$$7y=98$$

7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=14$$

x=-\frac{1}{2}y+17 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 14 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

-\frac{1}{2} কে 14 বার গুণ করুন।

$$x=-7+17$$

-7 এ 17 যোগ করুন।

$$x=10$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=10,y=14$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=10,y=14$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

10x এবং 6x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 6 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 10 দিয়ে গুণ করুন।

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

সিমপ্লিফাই।

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 60x+30y=1020 থেকে 60x+100y=2000 বাদ দিন।

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

-60x এ 60x যোগ করুন। টার্ম 60x এবং -60x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$30y-100y=1020-2000$$

-100y এ 30y যোগ করুন।

$$-70y=1020-2000$$

-2000 এ 1020 যোগ করুন।

$$-70y=-980$$

-70 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=14$$

6x+10y=200 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 14 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$6x+10\times 14=200$$

10 কে 14 বার গুণ করুন।

$$6x+140=200$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 140 বাদ দিন।

$$6x=60$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=10$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=10,y=14$$