{l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

r, t এর জন্য সমাধান করুন

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের r পৃথক করে r-এর জন্য সমাধান করুন।

$$0.07r+0.02t=0.16$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{t}{50} বাদ দিন।

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

0.07 দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

\frac{100}{7} কে -\frac{t}{50}+0.16 বার গুণ করুন।

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

অন্য সমীকরণ 0.05r-0.03t=0.21 এ r এর জন্য \frac{-2t+16}{7} বিপরীত করু ন।

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

0.05 কে \frac{-2t+16}{7} বার গুণ করুন।

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

-\frac{3t}{100} এ -\frac{t}{70} যোগ করুন।

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{4}{35} বাদ দিন।

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

-\frac{31}{700} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$t=-\frac{67}{31}$$

r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7} এ t এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{67}{31} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি r এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{2}{7} কে -\frac{67}{31} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{134}{217} এ \frac{16}{7} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$r=\frac{90}{31}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট r এবং t বের করুন।

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

\frac{7r}{100} এবং \frac{r}{20} সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 0.05 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 0.07 দিয়ে গুণ করুন।

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

সিমপ্লিফাই।

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 0.0035r+0.001t=0.008 থেকে 0.0035r-0.0021t=0.0147 বাদ দিন।

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

-\frac{7r}{2000} এ \frac{7r}{2000} যোগ করুন। টার্ম \frac{7r}{2000} এবং -\frac{7r}{2000} বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

\frac{21t}{10000} এ \frac{t}{1000} যোগ করুন।

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -0.0147 এ 0.008 যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$0.0031t=-0.0067$$

0.0031 দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$t=-\frac{67}{31}$$

0.05r-0.03t=0.21 এ t এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{67}{31} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি r এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -0.03 কে -\frac{67}{31} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{201}{3100} বাদ দিন।

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

20 দিয়ে উভয় দিককে গুণ করুন।

$$r=\frac{90}{31}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$