{l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

পরিবর্ত এবং দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। সমীকরণের উভয় দিককে 4 দিয়ে গুন করুন, 4,2 এর লঘিষ্ট সাধারণ গুণিতক।

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে my বিয়োগ করুন।

$$x-my=1$$

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

সমান চিহ্নের বাম দিকে x পৃথক করে x-এর জন্য x+\left(-m\right)y=1 সমাধান করুন।

$$x+\left(-m\right)y=1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \left(-m\right)y বাদ দিন।

$$x=my+1$$

অন্য সমীকরণ 2y^{2}+x^{2}=4 এ x এর জন্য my+1 বিপরীত করু ন।

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

my+1 এর বর্গ

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

m^{2}y^{2} এ 2y^{2} যোগ করুন।

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 4 বাদ দিন।

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

এই সমীকরণটি আদর্শ আকারের: ax^{2}+bx+c=0। দ্বিঘাত সূত্রে a এর জন্য 2+1m^{2}, b এর জন্য 1\times 1\times 2m এবং c এর জন্য -3 বিকল্প নিন, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}৷

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

1\times 1\times 2m এর বর্গ

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-4 কে 2+1m^{2} বার গুণ করুন।

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-8-4m^{2} কে -3 বার গুণ করুন।

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+12m^{2} এ 4m^{2} যোগ করুন।

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+16m^{2} এর স্কোয়ার রুট নিন।

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2 কে 2+1m^{2} বার গুণ করুন।

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} যখন ± হল যোগ৷ 2\sqrt{6+4m^{2}} এ -2m যোগ করুন।

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m+2\sqrt{6+4m^{2}} কে 4+2m^{2} দিয়ে ভাগ করুন।

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} যখন ± হল বিয়োগ৷ -2m থেকে 2\sqrt{6+4m^{2}} বাদ দিন।

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m-2\sqrt{6+4m^{2}} কে 4+2m^{2} দিয়ে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

y এর দুটি সমাধান আছে: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ও -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}। x=my+1 সমীকরণে উভয় সমীকরণেই ব্যবহার করা যাবে x এর জন্য সংশ্লিষ্ট সমাধান খোঁজার সমাধান করতে y এর জন্য \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} কে পরিবর্ত করুন।

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

m কে \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

1 এ m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} যোগ করুন।

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

x=my+1 সমীকরণে -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} এর জন্য y কে পরিবর্ত করুন এবং উভয় সমীকরণেই ব্যবহার করা যাবে x এর জন্য সংশ্লিষ্ট সমাধান খুঁজতে সমাধান করুন।

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

m কে -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} বার গুণ করুন।

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

1 এ m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) যোগ করুন।

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$