求解 x^2+8x-32=0

$$x ^ { 2 } + 8 x - 32 = 0$$

求解 x 的值

$$x=4\sqrt{3}-4\approx 2.92820323$$

$$x=-4\sqrt{3}-4\approx -10.92820323$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}+8x-32=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，8 替换 b，并用 -32 替换 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-32\right)}}{2}$$

对 8 进行平方运算。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-32\right)}}{2}$$

求 -4 与 -32 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+128}}{2}$$

将 128 加上 64。

$$x=\frac{-8±\sqrt{192}}{2}$$

取 192 的平方根。

$$x=\frac{-8±8\sqrt{3}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-8±8\sqrt{3}}{2} 的解。 将 8\sqrt{3} 加上 -8。

$$x=\frac{8\sqrt{3}-8}{2}$$

-8+8\sqrt{3} 除以 2。

$$x=4\sqrt{3}-4$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-8±8\sqrt{3}}{2} 的解。 将 -8 减去 8\sqrt{3}。

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-8}{2}$$

-8-8\sqrt{3} 除以 2。

$$x=-4\sqrt{3}-4$$

现已求得方程式的解。

$$x=4\sqrt{3}-4 x=-4\sqrt{3}-4$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}+8x-32=0$$

在等式两边同时加 32。

$$x^{2}+8x-32-\left(-32\right)=-\left(-32\right)$$

-32 减去它自己得 0。

$$x^{2}+8x=-\left(-32\right)$$

将 0 减去 -32。

$$x^{2}+8x=32$$

将 x 项的系数 8 除以 2 得 4。然后在等式两边同时加上 4 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+8x+4^{2}=32+4^{2}$$

对 4 进行平方运算。

$$x^{2}+8x+16=32+16$$

将 16 加上 32。

$$x^{2}+8x+16=48$$

因数 x^{2}+8x+16。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+4\right)^{2}=48$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{48}$$

化简。

$$x+4=4\sqrt{3} x+4=-4\sqrt{3}$$

将等式的两边同时减去 4。

$$x=4\sqrt{3}-4 x=-4\sqrt{3}-4$$