求解 a^2+a-5=0

$$a ^ { 2 } + a - 5 = 0$$

求解 a 的值

$$a = \frac{\sqrt{21} - 1}{2} \approx 1.791287847$$

$$a=\frac{-\sqrt{21}-1}{2}\approx -2.791287847$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$a^{2}+a-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，1 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$a=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

对 1 进行平方运算。

$$a=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-5\right)}}{2}$$

求 -4 与 -5 的乘积。

$$a=\frac{-1±\sqrt{1+20}}{2}$$

将 20 加上 1。

$$a=\frac{-1±\sqrt{21}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 a=\frac{-1±\sqrt{21}}{2} 的解。 将 \sqrt{21} 加上 -1。

$$a=\frac{\sqrt{21}-1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 a=\frac{-1±\sqrt{21}}{2} 的解。 将 -1 减去 \sqrt{21}。

$$a=\frac{-\sqrt{21}-1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$a=\frac{\sqrt{21}-1}{2} a=\frac{-\sqrt{21}-1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$a^{2}+a-5=0$$

在等式两边同时加 5。

$$a^{2}+a-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 减去它自己得 0。

$$a^{2}+a=-\left(-5\right)$$

将 0 减去 -5。

$$a^{2}+a=5$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$a^{2}+a+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$a^{2}+a+\frac{1}{4}=5+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 5。

$$a^{2}+a+\frac{1}{4}=\frac{21}{4}$$

因数 a^{2}+a+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(a+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

化简。

$$a+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} a+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$a=\frac{\sqrt{21}-1}{2} a=\frac{-\sqrt{21}-1}{2}$$