求解 a^2+(7-a)^2=169

$$a ^ { 2 } + ( 7 - a ) ^ { 2 } = 169$$

求解 a 的值

$$a=-5$$

$$a=12$$

通过分组进行因式分解的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(7-a\right)^{2}。

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

合并 a^{2} 和 a^{2}，得到 2a^{2}。

$$2a^{2}+49-14a=169$$

将方程式两边同时减去 169。

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

将 49 减去 169，得到 -120。

$$2a^{2}-120-14a=0$$

两边同时除以 2。

$$a^{2}-60-7a=0$$

重新排列多项式，将其变为标准形式。按从最高次幂到最低次幂的顺序放置项。

$$a^{2}-7a-60=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 a^{2}+aa+ba-60。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -60 的所有此类整数对。

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

计算每对之和。

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

该解答是总和为 -7 的对。

$$a=-12 b=5$$

将 a^{2}-7a-60 改写为 \left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right)。

$$\left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right)$$

将 a 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$a\left(a-12\right)+5\left(a-12\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 a-12。

$$\left(a-12\right)\left(a+5\right)$$

若要找到方程解，请解 a-12=0 和 a+5=0.

$$a=12 a=-5$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(7-a\right)^{2}。

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

合并 a^{2} 和 a^{2}，得到 2a^{2}。

$$2a^{2}+49-14a=169$$

将方程式两边同时减去 169。

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

将 49 减去 169，得到 -120。

$$2a^{2}-120-14a=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2a^{2}-14a-120=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-14 替换 b，并用 -120 替换 c。

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

对 -14 进行平方运算。

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -120 的乘积。

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+960}}{2\times 2}$$

将 960 加上 196。

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{1156}}{2\times 2}$$

取 1156 的平方根。

$$a=\frac{-\left(-14\right)±34}{2\times 2}$$

-14 的相反数是 14。

$$a=\frac{14±34}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$a=\frac{14±34}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 a=\frac{14±34}{4} 的解。 将 34 加上 14。

$$a=\frac{48}{4}$$

48 除以 4。

$$a=12$$

现在 ± 为减号时求公式 a=\frac{14±34}{4} 的解。 将 14 减去 34。

$$a=-\frac{20}{4}$$

-20 除以 4。

$$a=-5$$

现已求得方程式的解。

$$a=12 a=-5$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(7-a\right)^{2}。

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

合并 a^{2} 和 a^{2}，得到 2a^{2}。

$$2a^{2}+49-14a=169$$

将方程式两边同时减去 49。

$$2a^{2}-14a=169-49$$

将 169 减去 49，得到 120。

$$2a^{2}-14a=120$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2a^{2}-14a}{2}=\frac{120}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$a^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)a=\frac{120}{2}$$

-14 除以 2。

$$a^{2}-7a=\frac{120}{2}$$

120 除以 2。

$$a^{2}-7a=60$$

将 x 项的系数 -7 除以 2 得 -\frac{7}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$a^{2}-7a+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

将 \frac{49}{4} 加上 60。

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

因数 a^{2}-7a+\frac{49}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

化简。

$$a-\frac{7}{2}=\frac{17}{2} a-\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{2}。

$$a=12 a=-5$$