求解 9x^2-5x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}\approx 0.277777778+0.606039562i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}\approx 0.277777778-0.606039562i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9x^{2}-5x+4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，-5 替换 b，并用 4 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36\times 4}}{2\times 9}$$

求 -36 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-144}}{2\times 9}$$

将 -144 加上 25。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-119}}{2\times 9}$$

取 -119 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

-5 的相反数是 5。

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} 的解。 将 i\sqrt{119} 加上 5。

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} 的解。 将 5 减去 i\sqrt{119}。

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9x^{2}-5x+4=0$$

将等式的两边同时减去 4。

$$9x^{2}-5x+4-4=-4$$

4 减去它自己得 0。

$$9x^{2}-5x=-4$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9x^{2}-5x}{9}=-\frac{4}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{5}{9}x=-\frac{4}{9}$$

将 x 项的系数 -\frac{5}{9} 除以 2 得 -\frac{5}{18}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{18} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{18} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

将 \frac{25}{324} 加上 -\frac{4}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{119}{324}$$

因数 x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{119}{324}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{324}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{119}i}{18} x-\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{119}i}{18}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{18}。

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$