求解 9+x^2=(2x+1)^2

$$9 + x ^ { 2 } = ( 2 x + 1 ) ^ { 2 }$$

求解 x 的值

$$x = \frac{2 \sqrt{7} - 2}{3} \approx 1.097167541$$

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}\approx -2.430500874$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2x+1\right)^{2}。

$$9+x^{2}=4x^{2}+4x+1$$

将方程式两边同时减去 4x^{2}。

$$9+x^{2}-4x^{2}=4x+1$$

合并 x^{2} 和 -4x^{2}，得到 -3x^{2}。

$$9-3x^{2}=4x+1$$

将方程式两边同时减去 4x。

$$9-3x^{2}-4x=1$$

将方程式两边同时减去 1。

$$9-3x^{2}-4x-1=0$$

将 9 减去 1，得到 8。

$$8-3x^{2}-4x=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-3x^{2}-4x+8=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -3 替换 a，-4 替换 b，并用 8 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

求 -4 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+12\times 8}}{2\left(-3\right)}$$

求 12 与 8 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+96}}{2\left(-3\right)}$$

将 96 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{112}}{2\left(-3\right)}$$

取 112 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

求 2 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{4±4\sqrt{7}}{-6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±4\sqrt{7}}{-6} 的解。 将 4\sqrt{7} 加上 4。

$$x=\frac{4\sqrt{7}+4}{-6}$$

4+4\sqrt{7} 除以 -6。

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±4\sqrt{7}}{-6} 的解。 将 4 减去 4\sqrt{7}。

$$x=\frac{4-4\sqrt{7}}{-6}$$

4-4\sqrt{7} 除以 -6。

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2x+1\right)^{2}。

$$9+x^{2}=4x^{2}+4x+1$$

将方程式两边同时减去 4x^{2}。

$$9+x^{2}-4x^{2}=4x+1$$

合并 x^{2} 和 -4x^{2}，得到 -3x^{2}。

$$9-3x^{2}=4x+1$$

将方程式两边同时减去 4x。

$$9-3x^{2}-4x=1$$

将方程式两边同时减去 9。

$$-3x^{2}-4x=1-9$$

将 1 减去 9，得到 -8。

$$-3x^{2}-4x=-8$$

两边同时除以 -3。

$$\frac{-3x^{2}-4x}{-3}=-\frac{8}{-3}$$

除以 -3 是乘以 -3 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-3}\right)x=-\frac{8}{-3}$$

-4 除以 -3。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{8}{-3}$$

-8 除以 -3。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{8}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{4}{3} 除以 2 得 \frac{2}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{2}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{2}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{3}+\frac{4}{9}$$

将 \frac{4}{9} 加上 \frac{8}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{28}{9}$$

因数 x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

化简。

$$x+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2}{3}。

$$x=\frac{2\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-2\sqrt{7}-2}{3}$$