求解 8x^2-7x+1=0

$$8 x ^ { 2 } - 7 x + 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16}\approx 0.695194102$$

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}\approx 0.179805898$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$8x^{2}-7x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 8 替换 a，-7 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

对 -7 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 8}}{2\times 8}$$

求 -4 与 8 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-32}}{2\times 8}$$

将 -32 加上 49。

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{17}}{2\times 8}$$

-7 的相反数是 7。

$$x=\frac{7±\sqrt{17}}{2\times 8}$$

求 2 与 8 的乘积。

$$x=\frac{7±\sqrt{17}}{16}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{7±\sqrt{17}}{16} 的解。 将 \sqrt{17} 加上 7。

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{7±\sqrt{17}}{16} 的解。 将 7 减去 \sqrt{17}。

$$x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16} x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$8x^{2}-7x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$8x^{2}-7x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$8x^{2}-7x=-1$$

两边同时除以 8。

$$\frac{8x^{2}-7x}{8}=-\frac{1}{8}$$

除以 8 是乘以 8 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{7}{8}x=-\frac{1}{8}$$

将 x 项的系数 -\frac{7}{8} 除以 2 得 -\frac{7}{16}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{16} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{7}{16}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{16} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{49}{256}$$

将 \frac{49}{256} 加上 -\frac{1}{8}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=\frac{17}{256}$$

因数 x^{2}-\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}=\frac{17}{256}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{256}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{17}}{16} x-\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{17}}{16}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{16}。

$$x=\frac{\sqrt{17}+7}{16} x=\frac{7-\sqrt{17}}{16}$$