求解 8x+6x(11-x)=100

$$8 x + 6 x ( 11 - x ) = 100$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{769} + 37}{6} \approx 10.788474875$$

$$x = \frac{37 - \sqrt{769}}{6} \approx 1.544858459$$

运用二次公式的步骤

使用分配律将 6x 乘以 11-x。

$$8x+66x-6x^{2}=100$$

合并 8x 和 66x，得到 74x。

$$74x-6x^{2}=100$$

将方程式两边同时减去 100。

$$74x-6x^{2}-100=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-6x^{2}+74x-100=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -6 替换 a，74 替换 b，并用 -100 替换 c。

$$x=\frac{-74±\sqrt{74^{2}-4\left(-6\right)\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

对 74 进行平方运算。

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-4\left(-6\right)\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

求 -4 与 -6 的乘积。

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476+24\left(-100\right)}}{2\left(-6\right)}$$

求 24 与 -100 的乘积。

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-2400}}{2\left(-6\right)}$$

将 -2400 加上 5476。

$$x=\frac{-74±\sqrt{3076}}{2\left(-6\right)}$$

取 3076 的平方根。

$$x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{2\left(-6\right)}$$

求 2 与 -6 的乘积。

$$x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{-12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{-12} 的解。 将 2\sqrt{769} 加上 -74。

$$x=\frac{2\sqrt{769}-74}{-12}$$

-74+2\sqrt{769} 除以 -12。

$$x=\frac{37-\sqrt{769}}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-74±2\sqrt{769}}{-12} 的解。 将 -74 减去 2\sqrt{769}。

$$x=\frac{-2\sqrt{769}-74}{-12}$$

-74-2\sqrt{769} 除以 -12。

$$x=\frac{\sqrt{769}+37}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{37-\sqrt{769}}{6} x=\frac{\sqrt{769}+37}{6}$$

使用配方法的步骤

使用分配律将 6x 乘以 11-x。

$$8x+66x-6x^{2}=100$$

合并 8x 和 66x，得到 74x。

$$74x-6x^{2}=100$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-6x^{2}+74x=100$$

两边同时除以 -6。

$$\frac{-6x^{2}+74x}{-6}=\frac{100}{-6}$$

除以 -6 是乘以 -6 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{74}{-6}x=\frac{100}{-6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{74}{-6} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{37}{3}x=\frac{100}{-6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{100}{-6} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{37}{3}x=-\frac{50}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{37}{3} 除以 2 得 -\frac{37}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{37}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{37}{3}x+\left(-\frac{37}{6}\right)^{2}=-\frac{50}{3}+\left(-\frac{37}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{37}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{37}{3}x+\frac{1369}{36}=-\frac{50}{3}+\frac{1369}{36}$$

将 \frac{1369}{36} 加上 -\frac{50}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{37}{3}x+\frac{1369}{36}=\frac{769}{36}$$

因数 x^{2}-\frac{37}{3}x+\frac{1369}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{37}{6}\right)^{2}=\frac{769}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{37}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{769}{36}}$$

化简。

$$x-\frac{37}{6}=\frac{\sqrt{769}}{6} x-\frac{37}{6}=-\frac{\sqrt{769}}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{37}{6}。

$$x=\frac{\sqrt{769}+37}{6} x=\frac{37-\sqrt{769}}{6}$$