求解 8x+2-3x^2+1=35-x^2

$$8 x + 2 - 3 x ^ { 2 } + 1 = 35 - x ^ { 2 }$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=2+2\sqrt{3}i\approx 2+3.464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i+2\approx 2-3.464101615i$$

运用二次公式的步骤

2 与 1 相加，得到 3。

$$8x+3-3x^{2}=35-x^{2}$$

将方程式两边同时减去 35。

$$8x+3-3x^{2}-35=-x^{2}$$

将 3 减去 35，得到 -32。

$$8x-32-3x^{2}=-x^{2}$$

将 x^{2} 添加到两侧。

$$8x-32-3x^{2}+x^{2}=0$$

合并 -3x^{2} 和 x^{2}，得到 -2x^{2}。

$$8x-32-2x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-2x^{2}+8x-32=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -2 替换 a，8 替换 b，并用 -32 替换 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-2\right)\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

对 8 进行平方运算。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-2\right)\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

求 -4 与 -2 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+8\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

求 8 与 -32 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-256}}{2\left(-2\right)}$$

将 -256 加上 64。

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2\left(-2\right)}$$

取 -192 的平方根。

$$x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

求 2 与 -2 的乘积。

$$x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4} 的解。 将 8i\sqrt{3} 加上 -8。

$$x=\frac{-8+8\sqrt{3}i}{-4}$$

-8+8i\sqrt{3} 除以 -4。

$$x=-2\sqrt{3}i+2$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4} 的解。 将 -8 减去 8i\sqrt{3}。

$$x=\frac{-8\sqrt{3}i-8}{-4}$$

-8-8i\sqrt{3} 除以 -4。

$$x=2+2\sqrt{3}i$$

现已求得方程式的解。

$$x=-2\sqrt{3}i+2 x=2+2\sqrt{3}i$$

使用配方法的步骤

2 与 1 相加，得到 3。

$$8x+3-3x^{2}=35-x^{2}$$

将 x^{2} 添加到两侧。

$$8x+3-3x^{2}+x^{2}=35$$

合并 -3x^{2} 和 x^{2}，得到 -2x^{2}。

$$8x+3-2x^{2}=35$$

将方程式两边同时减去 3。

$$8x-2x^{2}=35-3$$

将 35 减去 3，得到 32。

$$8x-2x^{2}=32$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-2x^{2}+8x=32$$

两边同时除以 -2。

$$\frac{-2x^{2}+8x}{-2}=\frac{32}{-2}$$

除以 -2 是乘以 -2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{8}{-2}x=\frac{32}{-2}$$

8 除以 -2。

$$x^{2}-4x=\frac{32}{-2}$$

32 除以 -2。

$$x^{2}-4x=-16$$

将 x 项的系数 -4 除以 2 得 -2。然后在等式两边同时加上 -2 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-16+\left(-2\right)^{2}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x^{2}-4x+4=-16+4$$

将 4 加上 -16。

$$x^{2}-4x+4=-12$$

因数 x^{2}-4x+4。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-2\right)^{2}=-12$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-12}$$

化简。

$$x-2=2\sqrt{3}i x-2=-2\sqrt{3}i$$

在等式两边同时加 2。

$$x=2+2\sqrt{3}i x=-2\sqrt{3}i+2$$