求解 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3.714285714$$

$$x=3$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 7x^{2}+ax+bx-78。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -546 的所有此类整数对。

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

计算每对之和。

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

该解答是总和为 5 的对。

$$a=-21 b=26$$

将 7x^{2}+5x-78 改写为 \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)。

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

将 7x 放在第二个组中的第一个和 26 中。

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-3。

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

若要找到方程解，请解 x-3=0 和 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$7x^{2}+5x-78=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 7 替换 a，5 替换 b，并用 -78 替换 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

对 5 进行平方运算。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

求 -4 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

求 -28 与 -78 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

将 2184 加上 25。

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

取 2209 的平方根。

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

求 2 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-5±47}{14} 的解。 将 47 加上 -5。

$$x=\frac{42}{14}$$

42 除以 14。

$$x=3$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-5±47}{14} 的解。 将 -5 减去 47。

$$x=-\frac{52}{14}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-52}{14} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{26}{7}$$

现已求得方程式的解。

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$7x^{2}+5x-78=0$$

在等式两边同时加 78。

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

-78 减去它自己得 0。

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

将 0 减去 -78。

$$7x^{2}+5x=78$$

两边同时除以 7。

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

除以 7 是乘以 7 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

将 x 项的系数 \frac{5}{7} 除以 2 得 \frac{5}{14}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{14} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{14} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

将 \frac{25}{196} 加上 \frac{78}{7}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

因数 x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

化简。

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{14}。

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$