求解 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

求解 t 的值

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4.15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0.412160422$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$7t^{2}-32t+12=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 7 替换 a，-32 替换 b，并用 12 替换 c。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

对 -32 进行平方运算。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

求 -4 与 7 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

求 -28 与 12 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

将 -336 加上 1024。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

取 688 的平方根。

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

-32 的相反数是 32。

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

求 2 与 7 的乘积。

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} 的解。 将 4\sqrt{43} 加上 32。

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

32+4\sqrt{43} 除以 14。

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} 的解。 将 32 减去 4\sqrt{43}。

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

32-4\sqrt{43} 除以 14。

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

现已求得方程式的解。

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$7t^{2}-32t+12=0$$

将等式的两边同时减去 12。

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

12 减去它自己得 0。

$$7t^{2}-32t=-12$$

两边同时除以 7。

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

除以 7 是乘以 7 的逆运算。

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

将 x 项的系数 -\frac{32}{7} 除以 2 得 -\frac{16}{7}。然后在等式两边同时加上 -\frac{16}{7} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

对 -\frac{16}{7} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

将 \frac{256}{49} 加上 -\frac{12}{7}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

因数 t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

化简。

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

在等式两边同时加 \frac{16}{7}。

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$