求解 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

通过分组进行因式分解的步骤

将方程式两边同时减去 40。

$$6x^{2}-x-40=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 6x^{2}+ax+bx-40。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -240 的所有此类整数对。

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

计算每对之和。

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

该解答是总和为 -1 的对。

$$a=-16 b=15$$

将 6x^{2}-x-40 改写为 \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)。

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x-8。

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

若要找到方程解，请解 3x-8=0 和 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}-x=40$$

将等式的两边同时减去 40。

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

40 减去它自己得 0。

$$6x^{2}-x-40=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，-1 替换 b，并用 -40 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

求 -24 与 -40 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

将 960 加上 1。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

取 961 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

-1 的相反数是 1。

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{1±31}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{1±31}{12} 的解。 将 31 加上 1。

$$x=\frac{32}{12}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{32}{12} 降低为最简分数。

$$x=\frac{8}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{1±31}{12} 的解。 将 1 减去 31。

$$x=-\frac{30}{12}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{-30}{12} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{5}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}-x=40$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{40}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{1}{6} 除以 2 得 -\frac{1}{12}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{12} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{12} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

将 \frac{1}{144} 加上 \frac{20}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

因数 x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{12}。

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$