求解 6x^2+8x-12=0

$$6 x ^ { 2 } + 8 x - 12 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{22}-2}{3}\approx 0.896805253$$

$$x=\frac{-\sqrt{22}-2}{3}\approx -2.230138587$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}+8x-12=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，8 替换 b，并用 -12 替换 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

对 8 进行平方运算。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-24\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

求 -24 与 -12 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+288}}{2\times 6}$$

将 288 加上 64。

$$x=\frac{-8±\sqrt{352}}{2\times 6}$$

取 352 的平方根。

$$x=\frac{-8±4\sqrt{22}}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-8±4\sqrt{22}}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-8±4\sqrt{22}}{12} 的解。 将 4\sqrt{22} 加上 -8。

$$x=\frac{4\sqrt{22}-8}{12}$$

-8+4\sqrt{22} 除以 12。

$$x=\frac{\sqrt{22}-2}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-8±4\sqrt{22}}{12} 的解。 将 -8 减去 4\sqrt{22}。

$$x=\frac{-4\sqrt{22}-8}{12}$$

-8-4\sqrt{22} 除以 12。

$$x=\frac{-\sqrt{22}-2}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{22}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{22}-2}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}+8x-12=0$$

在等式两边同时加 12。

$$6x^{2}+8x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12 减去它自己得 0。

$$6x^{2}+8x=-\left(-12\right)$$

将 0 减去 -12。

$$6x^{2}+8x=12$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}+8x}{6}=\frac{12}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{8}{6}x=\frac{12}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{8}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{12}{6}$$

12 除以 6。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=2$$

将 x 项的系数 \frac{4}{3} 除以 2 得 \frac{2}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{2}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=2+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{2}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=2+\frac{4}{9}$$

将 \frac{4}{9} 加上 2。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{22}{9}$$

因数 x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{22}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{9}}$$

化简。

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{22}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{22}}{3}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{22}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{22}-2}{3}$$