求解 6x^2+3x+9=0

$$6 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0.25+1.198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0.25-1.198957881i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}+3x+9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，3 替换 b，并用 9 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 6\times 9}}{2\times 6}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 6\times 9}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-24\times 9}}{2\times 6}$$

求 -24 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-216}}{2\times 6}$$

将 -216 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{-207}}{2\times 6}$$

取 -207 的平方根。

$$x=\frac{-3±3\sqrt{23}i}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-3±3\sqrt{23}i}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±3\sqrt{23}i}{12} 的解。 将 3i\sqrt{23} 加上 -3。

$$x=\frac{-3+3\sqrt{23}i}{12}$$

-3+3i\sqrt{23} 除以 12。

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±3\sqrt{23}i}{12} 的解。 将 -3 减去 3i\sqrt{23}。

$$x=\frac{-3\sqrt{23}i-3}{12}$$

-3-3i\sqrt{23} 除以 12。

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}+3x+9=0$$

将等式的两边同时减去 9。

$$6x^{2}+3x+9-9=-9$$

9 减去它自己得 0。

$$6x^{2}+3x=-9$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}+3x}{6}=-\frac{9}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{6}x=-\frac{9}{6}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{3}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{9}{6}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{-9}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

将 x 项的系数 \frac{1}{2} 除以 2 得 \frac{1}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

将 \frac{1}{16} 加上 -\frac{3}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{4}。

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$