求解 6x^2+18x-19=0

$$6 x ^ { 2 } + 18 x - 19 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}\approx 0.827373341$$

$$x=-\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}\approx -3.827373341$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}+18x-19=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，18 替换 b，并用 -19 替换 c。

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 6\left(-19\right)}}{2\times 6}$$

对 18 进行平方运算。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 6\left(-19\right)}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-24\left(-19\right)}}{2\times 6}$$

求 -24 与 -19 的乘积。

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+456}}{2\times 6}$$

将 456 加上 324。

$$x=\frac{-18±\sqrt{780}}{2\times 6}$$

取 780 的平方根。

$$x=\frac{-18±2\sqrt{195}}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-18±2\sqrt{195}}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-18±2\sqrt{195}}{12} 的解。 将 2\sqrt{195} 加上 -18。

$$x=\frac{2\sqrt{195}-18}{12}$$

-18+2\sqrt{195} 除以 12。

$$x=\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-18±2\sqrt{195}}{12} 的解。 将 -18 减去 2\sqrt{195}。

$$x=\frac{-2\sqrt{195}-18}{12}$$

-18-2\sqrt{195} 除以 12。

$$x=-\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}+18x-19=0$$

在等式两边同时加 19。

$$6x^{2}+18x-19-\left(-19\right)=-\left(-19\right)$$

-19 减去它自己得 0。

$$6x^{2}+18x=-\left(-19\right)$$

将 0 减去 -19。

$$6x^{2}+18x=19$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}+18x}{6}=\frac{19}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{18}{6}x=\frac{19}{6}$$

18 除以 6。

$$x^{2}+3x=\frac{19}{6}$$

将 x 项的系数 3 除以 2 得 \frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{19}{6}+\frac{9}{4}$$

将 \frac{9}{4} 加上 \frac{19}{6}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{65}{12}$$

因数 x^{2}+3x+\frac{9}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{65}{12}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{12}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{195}}{6} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{195}}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{195}}{6}-\frac{3}{2}$$