求解 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 6x^{2}+ax+bx-7。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -42 的所有此类整数对。

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

计算每对之和。

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

该解答是总和为 19 的对。

$$a=-2 b=21$$

将 6x^{2}+19x-7 改写为 \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)。

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

将 2x 放在第二个组中的第一个和 7 中。

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x-1。

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

若要找到方程解，请解 3x-1=0 和 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}+19x-7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，19 替换 b，并用 -7 替换 c。

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

对 19 进行平方运算。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

求 -24 与 -7 的乘积。

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

将 168 加上 361。

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

取 529 的平方根。

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-19±23}{12} 的解。 将 23 加上 -19。

$$x=\frac{4}{12}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{4}{12} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-19±23}{12} 的解。 将 -19 减去 23。

$$x=-\frac{42}{12}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{-42}{12} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{7}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$6x^{2}+19x-7=0$$

在等式两边同时加 7。

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 减去它自己得 0。

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

将 0 减去 -7。

$$6x^{2}+19x=7$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

将 x 项的系数 \frac{19}{6} 除以 2 得 \frac{19}{12}。然后在等式两边同时加上 \frac{19}{12} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

对 \frac{19}{12} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

将 \frac{361}{144} 加上 \frac{7}{6}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

因数 x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

化简。

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

将等式的两边同时减去 \frac{19}{12}。

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$