求解 5x^2-5x-17=0

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 17 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx 2.410497317$$

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx -1.410497317$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}-5x-17=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，-5 替换 b，并用 -17 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -17 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+340}}{2\times 5}$$

将 340 加上 25。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

-5 的相反数是 5。

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} 的解。 将 \sqrt{365} 加上 5。

$$x=\frac{\sqrt{365}+5}{10}$$

5+\sqrt{365} 除以 10。

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} 的解。 将 5 减去 \sqrt{365}。

$$x=\frac{5-\sqrt{365}}{10}$$

5-\sqrt{365} 除以 10。

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}-5x-17=0$$

在等式两边同时加 17。

$$5x^{2}-5x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

-17 减去它自己得 0。

$$5x^{2}-5x=-\left(-17\right)$$

将 0 减去 -17。

$$5x^{2}-5x=17$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{17}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{17}{5}$$

-5 除以 5。

$$x^{2}-x=\frac{17}{5}$$

将 x 项的系数 -1 除以 2 得 -\frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{5}+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 \frac{17}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{73}{20}$$

因数 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{73}{20}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{20}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{365}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{365}}{10}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$