求解 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=1$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 5x^{2}+ax+bx-1。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 只有此类对是系统解答。

$$a=-5 b=1$$

将 5x^{2}-4x-1 改写为 \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)。

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

从 5x^{2}-5x 分解出因子 5x。

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-1。

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

若要找到方程解，请解 x-1=0 和 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5x^{2}-4x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，-4 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

将 20 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

取 36 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$x=\frac{4±6}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±6}{10} 的解。 将 6 加上 4。

$$x=\frac{10}{10}$$

10 除以 10。

$$x=1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±6}{10} 的解。 将 4 减去 6。

$$x=-\frac{2}{10}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-2}{10} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5x^{2}-4x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$5x^{2}-4x=1$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

将 x 项的系数 -\frac{4}{5} 除以 2 得 -\frac{2}{5}。然后在等式两边同时加上 -\frac{2}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

对 -\frac{2}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

将 \frac{4}{25} 加上 \frac{1}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

因数 x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

化简。

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

在等式两边同时加 \frac{2}{5}。

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$