求解 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

求解 t 的值

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15.769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1.369714114$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$5t^{2}-72t-108=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 5 替换 a，-72 替换 b，并用 -108 替换 c。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

对 -72 进行平方运算。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -108 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

将 2160 加上 5184。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

取 7344 的平方根。

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

-72 的相反数是 72。

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

求 2 与 5 的乘积。

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} 的解。 将 12\sqrt{51} 加上 72。

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

72+12\sqrt{51} 除以 10。

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} 的解。 将 72 减去 12\sqrt{51}。

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

72-12\sqrt{51} 除以 10。

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$5t^{2}-72t-108=0$$

在等式两边同时加 108。

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

-108 减去它自己得 0。

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

将 0 减去 -108。

$$5t^{2}-72t=108$$

两边同时除以 5。

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

除以 5 是乘以 5 的逆运算。

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

将 x 项的系数 -\frac{72}{5} 除以 2 得 -\frac{36}{5}。然后在等式两边同时加上 -\frac{36}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

对 -\frac{36}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

将 \frac{1296}{25} 加上 \frac{108}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

因数 t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

化简。

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

在等式两边同时加 \frac{36}{5}。

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$