求解 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

求解 x 的值

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22.807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2.192235936$$

运用二次公式的步骤

使用分配律将 2x 乘以 30-2x。

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

合并 40x 和 60x，得到 100x。

$$100x-4x^{2}=200$$

将方程式两边同时减去 200。

$$100x-4x^{2}-200=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -4 替换 a，100 替换 b，并用 -200 替换 c。

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

对 100 进行平方运算。

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

求 -4 与 -4 的乘积。

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

求 16 与 -200 的乘积。

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

将 -3200 加上 10000。

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

取 6800 的平方根。

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

求 2 与 -4 的乘积。

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} 的解。 将 20\sqrt{17} 加上 -100。

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

-100+20\sqrt{17} 除以 -8。

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} 的解。 将 -100 减去 20\sqrt{17}。

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

-100-20\sqrt{17} 除以 -8。

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

使用配方法的步骤

使用分配律将 2x 乘以 30-2x。

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

合并 40x 和 60x，得到 100x。

$$100x-4x^{2}=200$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-4x^{2}+100x=200$$

两边同时除以 -4。

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

除以 -4 是乘以 -4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

100 除以 -4。

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

200 除以 -4。

$$x^{2}-25x=-50$$

将 x 项的系数 -25 除以 2 得 -\frac{25}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{25}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{25}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

将 \frac{625}{4} 加上 -50。

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

因数 x^{2}-25x+\frac{625}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{25}{2}。

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$