求解 4x^2-75x+50=0

$$4 x ^ { 2 } - 75 x + 50 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{5 \sqrt{193} + 75}{8} \approx 18.057777493$$

$$x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}\approx 0.692222507$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-75x+50=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-75 替换 b，并用 50 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{\left(-75\right)^{2}-4\times 4\times 50}}{2\times 4}$$

对 -75 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-4\times 4\times 50}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-16\times 50}}{2\times 4}$$

求 -16 与 50 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-800}}{2\times 4}$$

将 -800 加上 5625。

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{4825}}{2\times 4}$$

取 4825 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-75\right)±5\sqrt{193}}{2\times 4}$$

-75 的相反数是 75。

$$x=\frac{75±5\sqrt{193}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8} 的解。 将 5\sqrt{193} 加上 75。

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{75±5\sqrt{193}}{8} 的解。 将 75 减去 5\sqrt{193}。

$$x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8} x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-75x+50=0$$

将等式的两边同时减去 50。

$$4x^{2}-75x+50-50=-50$$

50 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-75x=-50$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-75x}{4}=-\frac{50}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{75}{4}x=-\frac{50}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-50}{4} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{75}{4}x=-\frac{25}{2}$$

将 x 项的系数 -\frac{75}{4} 除以 2 得 -\frac{75}{8}。然后在等式两边同时加上 -\frac{75}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\left(-\frac{75}{8}\right)^{2}=-\frac{25}{2}+\left(-\frac{75}{8}\right)^{2}$$

对 -\frac{75}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64}=-\frac{25}{2}+\frac{5625}{64}$$

将 \frac{5625}{64} 加上 -\frac{25}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64}=\frac{4825}{64}$$

因数 x^{2}-\frac{75}{4}x+\frac{5625}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{75}{8}\right)^{2}=\frac{4825}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{75}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4825}{64}}$$

化简。

$$x-\frac{75}{8}=\frac{5\sqrt{193}}{8} x-\frac{75}{8}=-\frac{5\sqrt{193}}{8}$$

在等式两边同时加 \frac{75}{8}。

$$x=\frac{5\sqrt{193}+75}{8} x=\frac{75-5\sqrt{193}}{8}$$