求解 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1.42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0.17539053$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-5x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-5 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

求 -16 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

将 16 加上 25。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

-5 的相反数是 5。

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} 的解。 将 \sqrt{41} 加上 5。

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} 的解。 将 5 减去 \sqrt{41}。

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-5x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$4x^{2}-5x=1$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

将 x 项的系数 -\frac{5}{4} 除以 2 得 -\frac{5}{8}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

将 \frac{25}{64} 加上 \frac{1}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

因数 x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{8}。

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$