求解 4x^2-29x+30=0

$$4 x ^ { 2 } - 29 x + 30 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$x=6$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 4x^{2}+ax+bx+30。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-29 ab=4\times 30=120$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值，所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 120 的所有此类整数对。

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

计算每对之和。

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

该解答是总和为 -29 的对。

$$a=-24 b=-5$$

将 4x^{2}-29x+30 改写为 \left(4x^{2}-24x\right)+\left(-5x+30\right)。

$$\left(4x^{2}-24x\right)+\left(-5x+30\right)$$

将 4x 放在第二个组中的第一个和 -5 中。

$$4x\left(x-6\right)-5\left(x-6\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-6。

$$\left(x-6\right)\left(4x-5\right)$$

若要找到方程解，请解 x-6=0 和 4x-5=0.

$$x=6 x=\frac{5}{4}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$4x^{2}-29x+30=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4 替换 a，-29 替换 b，并用 30 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 4\times 30}}{2\times 4}$$

对 -29 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 4\times 30}}{2\times 4}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-16\times 30}}{2\times 4}$$

求 -16 与 30 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-480}}{2\times 4}$$

将 -480 加上 841。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

取 361 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-29\right)±19}{2\times 4}$$

-29 的相反数是 29。

$$x=\frac{29±19}{2\times 4}$$

求 2 与 4 的乘积。

$$x=\frac{29±19}{8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{29±19}{8} 的解。 将 19 加上 29。

$$x=\frac{48}{8}$$

48 除以 8。

$$x=6$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{29±19}{8} 的解。 将 29 减去 19。

$$x=\frac{10}{8}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{10}{8} 降低为最简分数。

$$x=\frac{5}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=6 x=\frac{5}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$4x^{2}-29x+30=0$$

将等式的两边同时减去 30。

$$4x^{2}-29x+30-30=-30$$

30 减去它自己得 0。

$$4x^{2}-29x=-30$$

两边同时除以 4。

$$\frac{4x^{2}-29x}{4}=-\frac{30}{4}$$

除以 4 是乘以 4 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{29}{4}x=-\frac{30}{4}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-30}{4} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{29}{4}x=-\frac{15}{2}$$

将 x 项的系数 -\frac{29}{4} 除以 2 得 -\frac{29}{8}。然后在等式两边同时加上 -\frac{29}{8} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{29}{4}x+\left(-\frac{29}{8}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{29}{8}\right)^{2}$$

对 -\frac{29}{8} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{29}{4}x+\frac{841}{64}=-\frac{15}{2}+\frac{841}{64}$$

将 \frac{841}{64} 加上 -\frac{15}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{29}{4}x+\frac{841}{64}=\frac{361}{64}$$

因数 x^{2}-\frac{29}{4}x+\frac{841}{64}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{29}{8}\right)^{2}=\frac{361}{64}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{64}}$$

化简。

$$x-\frac{29}{8}=\frac{19}{8} x-\frac{29}{8}=-\frac{19}{8}$$

在等式两边同时加 \frac{29}{8}。

$$x=6 x=\frac{5}{4}$$