求解 4x+102=-20x(3-6x)

$$4 x + 102 = - 20 x ( 3 - 6 x )$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx 1.226412003$$

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx -0.69307867$$

运用二次公式的步骤

使用分配律将 -20x 乘以 3-6x。

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

将 60x 添加到两侧。

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

合并 4x 和 60x，得到 64x。

$$64x+102=120x^{2}$$

将方程式两边同时减去 120x^{2}。

$$64x+102-120x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-120x^{2}+64x+102=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -120 替换 a，64 替换 b，并用 102 替换 c。

$$x=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

对 64 进行平方运算。

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

求 -4 与 -120 的乘积。

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+480\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

求 480 与 102 的乘积。

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+48960}}{2\left(-120\right)}$$

将 48960 加上 4096。

$$x=\frac{-64±\sqrt{53056}}{2\left(-120\right)}$$

取 53056 的平方根。

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{2\left(-120\right)}$$

求 2 与 -120 的乘积。

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240} 的解。 将 8\sqrt{829} 加上 -64。

$$x=\frac{8\sqrt{829}-64}{-240}$$

-64+8\sqrt{829} 除以 -240。

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240} 的解。 将 -64 减去 8\sqrt{829}。

$$x=\frac{-8\sqrt{829}-64}{-240}$$

-64-8\sqrt{829} 除以 -240。

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

现已求得方程式的解。

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

使用配方法的步骤

使用分配律将 -20x 乘以 3-6x。

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

将 60x 添加到两侧。

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

合并 4x 和 60x，得到 64x。

$$64x+102=120x^{2}$$

将方程式两边同时减去 120x^{2}。

$$64x+102-120x^{2}=0$$

将方程式两边同时减去 102。 零减去任何数都等于该数的相反数。

$$64x-120x^{2}=-102$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-120x^{2}+64x=-102$$

两边同时除以 -120。

$$\frac{-120x^{2}+64x}{-120}=-\frac{102}{-120}$$

除以 -120 是乘以 -120 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{64}{-120}x=-\frac{102}{-120}$$

通过求根和消去 8，将分数 \frac{64}{-120} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{102}{-120}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{-102}{-120} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=\frac{17}{20}$$

将 x 项的系数 -\frac{8}{15} 除以 2 得 -\frac{4}{15}。然后在等式两边同时加上 -\frac{4}{15} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{17}{20}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

对 -\frac{4}{15} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{17}{20}+\frac{16}{225}$$

将 \frac{16}{225} 加上 \frac{17}{20}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{829}{900}$$

因数 x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{829}{900}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{829}{900}}$$

化简。

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{829}}{30} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{829}}{30}$$

在等式两边同时加 \frac{4}{15}。

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$