求解 37x^2-70x+25=0

$$37 x ^ { 2 } - 70 x + 25 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{10 \sqrt{3} + 35}{37} \approx 1.414067786$$

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}\approx 0.477824106$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$37x^{2}-70x+25=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 37 替换 a，-70 替换 b，并用 25 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

对 -70 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 37\times 25}}{2\times 37}$$

求 -4 与 37 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-148\times 25}}{2\times 37}$$

求 -148 与 25 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-3700}}{2\times 37}$$

将 -3700 加上 4900。

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{1200}}{2\times 37}$$

取 1200 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-70\right)±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

-70 的相反数是 70。

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{2\times 37}$$

求 2 与 37 的乘积。

$$x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} 的解。 将 20\sqrt{3} 加上 70。

$$x=\frac{20\sqrt{3}+70}{74}$$

70+20\sqrt{3} 除以 74。

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{70±20\sqrt{3}}{74} 的解。 将 70 减去 20\sqrt{3}。

$$x=\frac{70-20\sqrt{3}}{74}$$

70-20\sqrt{3} 除以 74。

$$x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$37x^{2}-70x+25=0$$

将等式的两边同时减去 25。

$$37x^{2}-70x+25-25=-25$$

25 减去它自己得 0。

$$37x^{2}-70x=-25$$

两边同时除以 37。

$$\frac{37x^{2}-70x}{37}=-\frac{25}{37}$$

除以 37 是乘以 37 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{70}{37}x=-\frac{25}{37}$$

将 x 项的系数 -\frac{70}{37} 除以 2 得 -\frac{35}{37}。然后在等式两边同时加上 -\frac{35}{37} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}=-\frac{25}{37}+\left(-\frac{35}{37}\right)^{2}$$

对 -\frac{35}{37} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=-\frac{25}{37}+\frac{1225}{1369}$$

将 \frac{1225}{1369} 加上 -\frac{25}{37}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}=\frac{300}{1369}$$

因数 x^{2}-\frac{70}{37}x+\frac{1225}{1369}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}=\frac{300}{1369}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{37}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{300}{1369}}$$

化简。

$$x-\frac{35}{37}=\frac{10\sqrt{3}}{37} x-\frac{35}{37}=-\frac{10\sqrt{3}}{37}$$

在等式两边同时加 \frac{35}{37}。

$$x=\frac{10\sqrt{3}+35}{37} x=\frac{35-10\sqrt{3}}{37}$$