求解 3x^2-40x+96=0

$$3 x ^ { 2 } - 40 x + 96 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{4 \sqrt{7} + 20}{3} \approx 10.194335081$$

$$x = \frac{20 - 4 \sqrt{7}}{3} \approx 3.138998252$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-40x+96=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-40 替换 b，并用 96 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

对 -40 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-12\times 96}}{2\times 3}$$

求 -12 与 96 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1152}}{2\times 3}$$

将 -1152 加上 1600。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{448}}{2\times 3}$$

取 448 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

-40 的相反数是 40。

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} 的解。 将 8\sqrt{7} 加上 40。

$$x=\frac{8\sqrt{7}+40}{6}$$

40+8\sqrt{7} 除以 6。

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} 的解。 将 40 减去 8\sqrt{7}。

$$x=\frac{40-8\sqrt{7}}{6}$$

40-8\sqrt{7} 除以 6。

$$x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-40x+96=0$$

将等式的两边同时减去 96。

$$3x^{2}-40x+96-96=-96$$

96 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-40x=-96$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-40x}{3}=-\frac{96}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{96}{3}$$

-96 除以 3。

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-32$$

将 x 项的系数 -\frac{40}{3} 除以 2 得 -\frac{20}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{20}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{20}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-32+\frac{400}{9}$$

将 \frac{400}{9} 加上 -32。

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{112}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{112}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{112}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{20}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{20}{3}。

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$