求解 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=1$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3x^{2}+ax+bx-11。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -33 的所有此类整数对。

$$-1,33 -3,11$$

计算每对之和。

$$-1+33=32 -3+11=8$$

该解答是总和为 8 的对。

$$a=-3 b=11$$

将 3x^{2}+8x-11 改写为 \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)。

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

将 3x 放在第二个组中的第一个和 11 中。

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-1。

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

若要找到方程解，请解 x-1=0 和 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+8x-11=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，8 替换 b，并用 -11 替换 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

对 8 进行平方运算。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -11 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

将 132 加上 64。

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

取 196 的平方根。

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-8±14}{6} 的解。 将 14 加上 -8。

$$x=\frac{6}{6}$$

6 除以 6。

$$x=1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-8±14}{6} 的解。 将 -8 减去 14。

$$x=-\frac{22}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-22}{6} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{11}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+8x-11=0$$

在等式两边同时加 11。

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

将 0 减去 -11。

$$3x^{2}+8x=11$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{8}{3} 除以 2 得 \frac{4}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{4}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{4}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

将 \frac{16}{9} 加上 \frac{11}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

因数 x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

化简。

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

将等式的两边同时减去 \frac{4}{3}。

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$