求解 3x^2+3x+9=0

$$3 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}\approx -0.5+1.658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}\approx -0.5-1.658312395i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+3x+9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，3 替换 b，并用 9 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 9}}{2\times 3}$$

求 -12 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-108}}{2\times 3}$$

将 -108 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{-99}}{2\times 3}$$

取 -99 的平方根。

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} 的解。 将 3i\sqrt{11} 加上 -3。

$$x=\frac{-3+3\sqrt{11}i}{6}$$

-3+3i\sqrt{11} 除以 6。

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} 的解。 将 -3 减去 3i\sqrt{11}。

$$x=\frac{-3\sqrt{11}i-3}{6}$$

-3-3i\sqrt{11} 除以 6。

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+3x+9=0$$

将等式的两边同时减去 9。

$$3x^{2}+3x+9-9=-9$$

9 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+3x=-9$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{9}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{9}{3}$$

3 除以 3。

$$x^{2}+x=-\frac{9}{3}$$

-9 除以 3。

$$x^{2}+x=-3$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 -3。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

因数 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$