求解 3x^2+15x-3=0

$$3 x ^ { 2 } + 15 x - 3 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{29}-5}{2}\approx 0.192582404$$

$$x=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}\approx -5.192582404$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+15x-3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，15 替换 b，并用 -3 替换 c。

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

对 15 进行平方运算。

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+36}}{2\times 3}$$

将 36 加上 225。

$$x=\frac{-15±\sqrt{261}}{2\times 3}$$

取 261 的平方根。

$$x=\frac{-15±3\sqrt{29}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-15±3\sqrt{29}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-15±3\sqrt{29}}{6} 的解。 将 3\sqrt{29} 加上 -15。

$$x=\frac{3\sqrt{29}-15}{6}$$

-15+3\sqrt{29} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{29}-5}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-15±3\sqrt{29}}{6} 的解。 将 -15 减去 3\sqrt{29}。

$$x=\frac{-3\sqrt{29}-15}{6}$$

-15-3\sqrt{29} 除以 6。

$$x=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{29}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+15x-3=0$$

在等式两边同时加 3。

$$3x^{2}+15x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+15x=-\left(-3\right)$$

将 0 减去 -3。

$$3x^{2}+15x=3$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+15x}{3}=\frac{3}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{15}{3}x=\frac{3}{3}$$

15 除以 3。

$$x^{2}+5x=\frac{3}{3}$$

3 除以 3。

$$x^{2}+5x=1$$

将 x 项的系数 5 除以 2 得 \frac{5}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=1+\frac{25}{4}$$

将 \frac{25}{4} 加上 1。

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{29}{4}$$

因数 x^{2}+5x+\frac{25}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{29}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$