求解 3x^2+1=2x+7

$$3 x ^ { 2 } + 1 = 2 x + 7$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{19} + 1}{3} \approx 1.786299648$$

$$x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}\approx -1.119632981$$

运用二次公式的步骤

将方程式两边同时减去 2x。

$$3x^{2}+1-2x=7$$

将方程式两边同时减去 7。

$$3x^{2}+1-2x-7=0$$

将 1 减去 7，得到 -6。

$$3x^{2}-6-2x=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-2x-6=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-2 替换 b，并用 -6 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -6 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+72}}{2\times 3}$$

将 72 加上 4。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

取 76 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

-2 的相反数是 2。

$$x=\frac{2±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{2±2\sqrt{19}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{19}}{6} 的解。 将 2\sqrt{19} 加上 2。

$$x=\frac{2\sqrt{19}+2}{6}$$

2+2\sqrt{19} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{19}+1}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{19}}{6} 的解。 将 2 减去 2\sqrt{19}。

$$x=\frac{2-2\sqrt{19}}{6}$$

2-2\sqrt{19} 除以 6。

$$x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{19}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$$

使用配方法的步骤

将方程式两边同时减去 2x。

$$3x^{2}+1-2x=7$$

将方程式两边同时减去 1。

$$3x^{2}-2x=7-1$$

将 7 减去 1，得到 6。

$$3x^{2}-2x=6$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{6}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{6}{3}$$

6 除以 3。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=2$$

将 x 项的系数 -\frac{2}{3} 除以 2 得 -\frac{1}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=2+\frac{1}{9}$$

将 \frac{1}{9} 加上 2。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{19}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{19}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$$