求解 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

求解 n 的值

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4.014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19.680742802$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3n^{2}+47n-232=5$$

将等式的两边同时减去 5。

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

5 减去它自己得 0。

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

将 -232 减去 5。

$$3n^{2}+47n-237=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，47 替换 b，并用 -237 替换 c。

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

对 47 进行平方运算。

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -237 的乘积。

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

将 2844 加上 2209。

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} 的解。 将 \sqrt{5053} 加上 -47。

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} 的解。 将 -47 减去 \sqrt{5053}。

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3n^{2}+47n-232=5$$

在等式两边同时加 232。

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

-232 减去它自己得 0。

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

将 5 减去 -232。

$$3n^{2}+47n=237$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

237 除以 3。

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

将 x 项的系数 \frac{47}{3} 除以 2 得 \frac{47}{6}。然后在等式两边同时加上 \frac{47}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

对 \frac{47}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

将 \frac{2209}{36} 加上 79。

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

因数 n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

化简。

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{47}{6}。

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$