求解 3x^2-19x-18=0

$$3 { x }^{ 2 } -19x-18=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{577} + 19}{6} \approx 7.170137383$$

$$x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}\approx -0.83680405$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-19x-18=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-19 替换 b，并用 -18 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

对 -19 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -18 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+216}}{2\times 3}$$

将 216 加上 361。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{577}}{2\times 3}$$

-19 的相反数是 19。

$$x=\frac{19±\sqrt{577}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{19±\sqrt{577}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{19±\sqrt{577}}{6} 的解。 将 \sqrt{577} 加上 19。

$$x=\frac{\sqrt{577}+19}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{19±\sqrt{577}}{6} 的解。 将 19 减去 \sqrt{577}。

$$x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{577}+19}{6} x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-19x-18=0$$

在等式两边同时加 18。

$$3x^{2}-19x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

-18 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-19x=-\left(-18\right)$$

将 0 减去 -18。

$$3x^{2}-19x=18$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-19x}{3}=\frac{18}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=\frac{18}{3}$$

18 除以 3。

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=6$$

将 x 项的系数 -\frac{19}{3} 除以 2 得 -\frac{19}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{19}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=6+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{19}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=6+\frac{361}{36}$$

将 \frac{361}{36} 加上 6。

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=\frac{577}{36}$$

因数 x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{577}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{577}{36}}$$

化简。

$$x-\frac{19}{6}=\frac{\sqrt{577}}{6} x-\frac{19}{6}=-\frac{\sqrt{577}}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{19}{6}。

$$x=\frac{\sqrt{577}+19}{6} x=\frac{19-\sqrt{577}}{6}$$