求解 3+12x-4x^2=0

$$3 + 12 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

求解 x 的值

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}\approx 3.232050808$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}\approx -0.232050808$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -4 替换 a，12 替换 b，并用 3 替换 c。

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

对 12 进行平方运算。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

求 -4 与 -4 的乘积。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

求 16 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+48}}{2\left(-4\right)}$$

将 48 加上 144。

$$x=\frac{-12±\sqrt{192}}{2\left(-4\right)}$$

取 192 的平方根。

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

求 2 与 -4 的乘积。

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} 的解。 将 8\sqrt{3} 加上 -12。

$$x=\frac{8\sqrt{3}-12}{-8}$$

-12+8\sqrt{3} 除以 -8。

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} 的解。 将 -12 减去 8\sqrt{3}。

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-12}{-8}$$

-12-8\sqrt{3} 除以 -8。

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

将等式的两边同时减去 3。

$$-4x^{2}+12x+3-3=-3$$

3 减去它自己得 0。

$$-4x^{2}+12x=-3$$

两边同时除以 -4。

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

除以 -4 是乘以 -4 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

12 除以 -4。

$$x^{2}-3x=-\frac{3}{-4}$$

-3 除以 -4。

$$x^{2}-3x=\frac{3}{4}$$

将 x 项的系数 -3 除以 2 得 -\frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3+9}{4}$$

将 \frac{9}{4} 加上 \frac{3}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3$$

因数 x^{2}-3x+\frac{9}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=3$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

化简。

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{3} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{3}$$

在等式两边同时加 \frac{3}{2}。

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$