求解 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 24x^{2}+ax+bx+21。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值，所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 504 的所有此类整数对。

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

计算每对之和。

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

该解答是总和为 -65 的对。

$$a=-56 b=-9$$

将 24x^{2}-65x+21 改写为 \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)。

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

将 8x 放在第二个组中的第一个和 -3 中。

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x-7。

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

若要找到方程解，请解 3x-7=0 和 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$24x^{2}-65x+21=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 24 替换 a，-65 替换 b，并用 21 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

对 -65 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

求 -4 与 24 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

求 -96 与 21 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

将 -2016 加上 4225。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

取 2209 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

-65 的相反数是 65。

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

求 2 与 24 的乘积。

$$x=\frac{65±47}{48}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{65±47}{48} 的解。 将 47 加上 65。

$$x=\frac{112}{48}$$

通过求根和消去 16，将分数 \frac{112}{48} 降低为最简分数。

$$x=\frac{7}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{65±47}{48} 的解。 将 65 减去 47。

$$x=\frac{18}{48}$$

通过求根和消去 6，将分数 \frac{18}{48} 降低为最简分数。

$$x=\frac{3}{8}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$24x^{2}-65x+21=0$$

将等式的两边同时减去 21。

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

21 减去它自己得 0。

$$24x^{2}-65x=-21$$

两边同时除以 24。

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

除以 24 是乘以 24 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{-21}{24} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

将 x 项的系数 -\frac{65}{24} 除以 2 得 -\frac{65}{48}。然后在等式两边同时加上 -\frac{65}{48} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

对 -\frac{65}{48} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

将 \frac{4225}{2304} 加上 -\frac{7}{8}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

因数 x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

化简。

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

在等式两边同时加 \frac{65}{48}。

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$