求解 23x^2+5x+3=0

$$23 x ^ { 2 } + 5 x + 3 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}\approx -0.108695652+0.344412598i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}\approx -0.108695652-0.344412598i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$23x^{2}+5x+3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 23 替换 a，5 替换 b，并用 3 替换 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

对 5 进行平方运算。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

求 -4 与 23 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-92\times 3}}{2\times 23}$$

求 -92 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-276}}{2\times 23}$$

将 -276 加上 25。

$$x=\frac{-5±\sqrt{-251}}{2\times 23}$$

取 -251 的平方根。

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{2\times 23}$$

求 2 与 23 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} 的解。 将 i\sqrt{251} 加上 -5。

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} 的解。 将 -5 减去 i\sqrt{251}。

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$23x^{2}+5x+3=0$$

将等式的两边同时减去 3。

$$23x^{2}+5x+3-3=-3$$

3 减去它自己得 0。

$$23x^{2}+5x=-3$$

两边同时除以 23。

$$\frac{23x^{2}+5x}{23}=-\frac{3}{23}$$

除以 23 是乘以 23 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{5}{23}x=-\frac{3}{23}$$

将 x 项的系数 \frac{5}{23} 除以 2 得 \frac{5}{46}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{46} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{3}{23}+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{46} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{3}{23}+\frac{25}{2116}$$

将 \frac{25}{2116} 加上 -\frac{3}{23}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{251}{2116}$$

因数 x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{251}{2116}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{2116}}$$

化简。

$$x+\frac{5}{46}=\frac{\sqrt{251}i}{46} x+\frac{5}{46}=-\frac{\sqrt{251}i}{46}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{46}。

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$