求解 2x^2+x-5=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-5=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{41} - 1}{4} \approx 1.350781059$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}\approx -1.850781059$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+x-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，1 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

对 1 进行平方运算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -5 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+40}}{2\times 2}$$

将 40 加上 1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} 的解。 将 \sqrt{41} 加上 -1。

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} 的解。 将 -1 减去 \sqrt{41}。

$$x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+x-5=0$$

在等式两边同时加 5。

$$2x^{2}+x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+x=-\left(-5\right)$$

将 0 减去 -5。

$$2x^{2}+x=5$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{5}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{5}{2}$$

将 x 项的系数 \frac{1}{2} 除以 2 得 \frac{1}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

将 \frac{1}{16} 加上 \frac{5}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$