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圆周率
圆周率
圆周率是数学常数,等于任何圆的周长和其直径的比,一个常见的近似值等于3.14159265,常用符号\displaystyle\pi表示。 \displaystyle\pi是无理数,不能用分数表示出来(即它的小数部分是无限不循环小数),但近似\textstyle\frac227等有理数。学界认为π的数字序列在统计上是随机分布,但迄今未能证明。此外,π还是超越数,亦即它不是任何有理系数多项式的根;化圆为方的问题不可能用尺规作图解决。 几个文明古国很早就须计算出π的精确值以便于生产的计算。公元5世纪,中国刘宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位。大约同时,印度数学家也将圆周率计算到小数点后5位。史上首条π的精确无穷级数公式直到约1000年后才由印度数学家发现。微积分出现,π的位数很快计到数百位,足以满足任何科学工程的计算需求。在20和21世纪,计算机技术快速发展,π的计算精度急速提高。截至2024年3月,π的十进制精度已达105万亿位。几乎所有科学研究对π的精度要求都不超过几百位,当前计算π的值主要都为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法。 π的定义涉及圆,在三角学和几何学的许多公式,特别是广泛应用在圆形、球形或椭球形相关公式中。在近代数学分析里,π改由实数系统谱性质中的特征值或周期来定义,其他数学领域如数论、统计以及几乎所有物理学领域均有出现,π的广泛用途使它成为科学界内外最广为人知的数学常数。几本专门介绍π的书籍经已出版,圆周率日和π值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。此外,背诵π值的世界记录已达10万位。 数学家用小写希腊字母\displaystyle\pi表示圆周和其直径之比,有时也将其拼写为“Pi”,来自希腊语“περίμετρος”(周长)的首字母。英语π的发音与英文单词“Pie”(/paɪ/,西式馅饼)相同。π的小写字母(或其无衬线体)在数学要和表示连乘积的大写Π相区分开。 关于选择符号π的原因,请参见引入π符号一节。 π常用定义为圆的周长\displaystyle C与直径\displaystyle d的比值: \displaystyle\pi=\fracCd。 无论圆的大小如何,比值\displaystyle\fracCd为恒值。如果圆的直径变为原先的二倍,周长也变为二倍,比值\displaystyle\fracCd不变。π目前的定义暗地用了欧几里得几何的一些定理,虽然圆的定义可扩展到任意曲面(即非欧几里得几何),但这些圆不符合定律\displaystyle\pi=\fracCd。 这里,圆的周长指其圆周的弧长,弧长这概念可以不依赖几何学,而是用微积分学的极限来定义。例如,若想计算笛卡儿坐标系中单位圆\displaystylex²+y²=1上半部分的弧长,需要用到积分: \displaystyle\pi=\int₋₁¹\fracdx\sqrt1-x².

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